HAKEKAT MATEMATIKA DAN MATEMATIKA SEKOLAH

 

A. Pendahuluan

Sedikitnya terdapat dua alasan, mengapa guru matematika perlu memahami tentang wawasan pendidikan matematika? Kedua alasan itu adalah sebagai berikut:

• Banyak siswa dan anggota masyarakat (termasuk guru matematika, ketika sekolah dulu) yang:: (a) tidak/ kurang suka bahkan benci matematika, (b) tidak/ kurang mengetahui peranan dan kegunaan matematika dalam pengembangan iptek, dalam bidang kehidupan dan dalam membentuk pola pikir dan kepribadian, (3) Tidak/ kurang memahami tentang hakekat (apa, mengapa dan bagaimana) matematika dan pendiikan matematika itu?
• Untuk bisa menguasai dan mengajarkan matematika diperlukan seni/ kiat tersendiri. Sehingga seorang guru matematika disamping harus menguasai materi matematika, juga harus menguasai berbagai teori belajar dan pembelajaran matematika serta memahami dengan baik tentang hakekat matematika dan msatematika sekolah.    

B, Rumusan Pertanyaan

Dalam makalah ini sedikitnya berupaya untuk menjawab 6 pertanyaan sebagai berikut:

Apa pengertian matematika itu?

Bagaimana ciri khusus (karakteristik) matematika?

Bagaimana sistem dan struktur matematika?

Bagaimana perkembangan matematika hingga dewasa ini?

Bagaimana persamaan dan perbedaan antara matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah?

Bagaimana fungsi, tujuan, peranan dan nilai – nilai yang akan ditanamkan kepada siswa melalui pembelajaran matematika di sekolah?

Tujuan

Sesuai dengan rumusan pertanyaan di atas, maka uraian dalam makalah ini bertujuan untuk memberikan gambaran singkat kepada para guru dan/ atau calon guru matematika khususnya serta kepada masyarakat pada umumnya mengenai hal – hal sebagai berikut:

Pengertian matematika,

Ciri khusus (karakteristik) matematika,

Sistem dan struktur matematika

Perkembangan matematika hingga dewasa ini

Persamaan dan perbedaan antara matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah

Fungsi, tujuan, peranan dan nilai – nilai yang akan ditanamkan kepada siswa melalui pembelajaran matematika di sekolah

Manfaat

B. Pembahasan

Definisi/Pengertian matematika

Terdapat banyak definisi dari para ahli tentang matematika itu, namun tidak satupun yang disepakati oleh para pakar matematika.
Bahkan matematika pernah terkotak-kotak ke dalam beberapa bagian (aljabar, geometri, aritmatika dll) yang seakan – akan terpisah dan tidak ada hubungannya.
Pernah pula dikatakan Matematika itu sebagai ilmu pasti, sehingga seakan-akan semua hasil  dan prosedur dalam matematika serba tunggal dan ilmu matematika
itu tidak mengalami perkembangan.

C. Karakteristik matematika
Sedikitnya matematika itu memiliki 6 karakteristik (ciri khusus), yaitu: (1) Memiliki objek kajian yang abstrak, (2) Bertumpu pada kesepakatan, (3) Berpola pikir deduktif, (4) Memiliki simbol – simbol yang kosong dari arti, (5) Memperhatikan semesta pembicaraan, (6) Konsisten dalam sistemnya. Penjelasan singkat dari masing-masing kriteria tersebut adalah sebagai berikut:

• 1. Memiliki objek kajian yang abstrak

Semua objek kajian dlm matematika adalah abstrak/ objek pikiran/ objek mental.
Objek-objek itu meliputi: (a) fakta, (b) konsep, (c) operasi/ relasi/ skill dan (d) prinsip.
Dari objek-objek dasar itu kemudian disusun suatu pola dan struktur matematika.
(a) fakta: konvensi-konvensi (kesepakatan-kesepakatan) yang diungkapkan dengan simbol (notasi) tertentu.
Contoh fakta: “2”, “>”, “//”, “+”  dll.

(b) Konsep (yang berkaitan erat dengandefinisi):

• Konsep: idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan objek-objek tertentu, apalah merupakan contoh atau bukan contoh dari idea tersebut.

• Contoh konsep: “bilangan asli”, “segitiga”, “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, “vektor”, “group”, “ruang metrik”  dll.

• Definisi: suatu ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan definisi itu, sutau konsep dapat dibuat gambar/ ilustrasi atau lambangnya.

• Dalam matematika terdapat tiga macam definisi, yaitu:

• definisi analitis: definisi yang menyebutkan genus proksimum/genus terdekat dan deferensia spesifika/ pembeda khususnya)
• definisi genetik: definisi yang menyebutkan proses terjadinya)

• definisi dengan rumus: definisi yang dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti: a – b = a + (-b),  n! = n(n – 1),   0! = 1  dll.

• Contoh definisi trapesium : (1) segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar, (2) segi empat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis lurus yan sejajar salah satu sisinya” (kedua definisi itu dikatakan: memiliki “intensi/isi kata” berbeda tetapi “ekstensi/jangkauan makna” nya sama.

• Operasi, yang merupakan suatu fungsi (relasi khusus). Pengertian operasi: suatu aturan untukmemperoleh elemen tunggal, dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

• Contoh operasi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, perpangkatan, tambah lima dll (pada aljabar), gabungan, irisan, komplemen dll. (pada himpunan)

• Berdasarkan banyaknya unsur yang dioperasikan, dikenal adanya : operasi unair, operasi biner, operasi terner dsb Bila yang ditekankan adalah keterampilannya, operasi ini sering disebut skill.

• prinsip: gabungan beberapa objek matematika (fakta atau konsep) yang dihubungkan dengan relasi atau operasi tertentu. Prinsip dalam matematika dapat berupa: aksioma, lemma, teorema (dalil) dan sifat.

• 2. Bertumpu pada kesempatan

Kesepakatan yang amat mendasar dalam matematika adalah: (a) aksioma/postulat/asumsi/pernyataan pangkal (yang tidak perlu dibuktikan) dan (b) konsep primitive/ undefined terms/ ppengertian pangkal (yang tidak perlu didefinisikan).

Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian (cinculus in pro bando).

Kobsep primitive diperlukan  untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian (cincolus in definiando).

Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema.

Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu dan dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian. (Penjelasan lebih lanjut pada Sistem dan Struktur Matematika).

3. Berpola pikir deduktif (dari hal yang bersifat umum diterapkan ke hal yang bersifat khusus)

Dalam matematika sebagai “ ilmu “ hanya diterima pola pikir deduktif dalam bentuk sederhana maupun kompleks. Tidak dibenarkan membuktikan kebenaran suatu teorema/ dalil secara induktif (dari hal yang bersifat khusus diarahkan ke hal yang bersifat unun).

Memang benar banyak teorema dalam matematika ditemukan secara induktif (seperti Teorema Pytagoras), namun untuk dimasukkan ke dalam struktur matematika setelah ia dapat dibuttikan secara deduktif.

Contoh deduktif sederhana:

a) Ketika seorang anak SD yang baru menerima pelajaran di sekolah tentang persegi panjang, kemudian ia bisa menunjuk model-model benda yang berbentuk persegi panjang.

b) Pembuktian Jumlah besar susut-sudut segitiga = 180 derajat, melalui besar sudut lurus dan sifat sudut-sudut: di antara garis-garis sejajar. 

Cuntuh – Contoh Teorema untuk dibuktikan secara deduktif tidak sederhana:

a) Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan benap,

b) A U B = B U A                                   n

Contoh kesalahan pola pikir induktif: 2     <   2n + 2

4. Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti

Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika, yang dapat berupa: persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu dan sebagainya.

Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya : “x+y = z” belum tentu berarti bilangan, demikian juga tanda “+“ belum tentu berarti operasi tambah dalam bilangan, namun tergantung dari permasalahan yang menyebabkan terbentuknya model itu.

Kosongnya arti simbol maupun tanda dalam model matematika itu justru memungkinkan “intervensi” matematika kedalam  berbagai pengetahuan dan memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (liguistik)

5. Memperhatikan Semesta Pembicaraan

Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipakai, bila lingkup pembicaraan bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan.

Bila lingkup pembicaraannya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan.

Benar/ salahnya ataupun ada/ tidaknya penyelesaian suatu model matimatika ditentukan oleh semesta pembicaranya.

6. Konsisten Dalam Sistemnya

Dalam matematika terdapat banyak sistem.

Ada sistem yang mempunyai kaitan  satu sama lain tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain.

Misal dikenal sistem - sistem aljabar, atau sistem - sistem geometri.

Di dalam masing-masing sistem dan struktur itu berlaku  konsistensi (tidak boleh terdapat kontradiksi). baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaranya.

Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan ada sebelumnya.

Kalau telah ditetapkan atau disepakati bahwa a + b = x dan x + y = p, maka haruslah a + b + y = p.

Tetapi antara sistem satu dengan  yang lain tidak mustahil terdapat pernyataan yang intensisnya saling kontradiksi.

Sebagai contoh pada sistem geometri Euclides dan sistem geometri non - Euclides

Pada Sistem Geometri Euclides memiliki teorema yang berbunyi : “Jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga adalah 180 derajat”.

Pada Sistem Geometri non-Eclides memiliki teorema berbunyi :” Jumlah besar sudut segitiga > 180 derajat”.

Kedua teorema tersebut manakah yang benar?

Jawab:  keduanya bernilai benar dalam masing-masing sistem dan strukturnya.

Sistem dan Struktur Matematika

Matematika mempelajari pola keteraturan tentang struktur yang terorganisasikan, mulai dari pernyataan pangkal (aksioma) dan/ atau dari konsep primitif ke teorema.

Konsep-konsep matematika, tersusun secara : hierarkis, terstruktur, logis dan sistematis, mulai dari yang paling sederhana sampai yang paling kompleks.

Sebagai contoh:

(a) materi-materi matematika yang harus dipelajari sebelum materi persamaan, antara lain: Kalimat matematika, operasi bilangan dan bilangan.

(b) Sistem aksioma dan struktur dalam matematika, seperti digambarkan sbb.

Pengertian sistem dan struktur serta syarat terbentuknya sistem aksioma

Sistem : sekumpulan unsur/ elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan tertentu dan sangat tergantung semestanya.

Struktur : suatu sistem yang memuat hubungan secara hirarkis.

Syarat untuk beberapa aksioma dapat membentuk sistem aksioma adalah:

(a) independen/ bebas: tidak ada satupun aksioma yang dapat diturunkan dari aksioma yang lain.

(b) konsisten/ taat azas/ tidak kontradiktif: tidak satupun aksioma itu yang bertentangan baik makna maupun nilai kebenarannya.

(c) lengkap: dari aksioma - aksioma yang terdapat pada sistem itu dapat dibentuk struktur tertentu yang dapat diangkat/ diturunkan teorema – teorema dari padanya.

Bila suatu teorema bernilai benar, maka ingkarannya salah.

Gambar Skema Sistem dan Strusktur Aksioma Matematika

Hakim Tertinggi Dalam Matematika

Kebenaran merupakan hal yang sangat penting dalam maupun di luar ilmu pengetahuan.

Dalam ilmu pengetahuan dikenal adanya tiga macam kebenaran terhadap suatu pernyataan, yaitu:

(a) Kebenaran konsistensi/ koherensi, yang didasarkan atas kebenaran – kebenaran telah diterima kebenarannya terlebih dahulu.

(b) Kebenaran korelasional, yang didasarkan pada kecocokannya dengan kenyataan yang ada.

(c) Kebenaran pragmatik, yang didasarkan atas manfaat dari isi pernyataan itu.

Tugas: Berikan contoh pernyataan yang menyatakan masing-masing kebenaran di atas!

Dalam matematika, hanya digunakan kebenaran konsistensi dan hakim tertingginya (penentu kebenarannya) adalah: Sistem atau Strukturnya.

Contoh dalam hal ini: Adanya kontradiksi pada teorema pada Sistem geometri Euqlids dan Non – Euqlids dan Definisi Sudut apakah Kerangkanya atau Daerahnya.

           Perkembangan Matematika Dewasa Ini

Setidaknya guru matematika harus tahu bahwa:

Tidaklah tepat bahwa matematika itu ilmu yang tidak berkembang.

Kenyataan menunjukkan bahwa sampai abad ke-20 ini telah terjadi perkembangan yang sangat pesat dalam berbagai bidang matematika maupun penerapannya, sehingga sangatlah sulit seorang ahli matematika untuk menguasai semua bidang matematika.

Beberapa contoh di antaranya perkembangan dalam:

(a) Bidang logika, himpunan, program linier: tidak hanya dikhotomis (B/ S, Anggota/ Bukan Anggota, Cantik/ Tidak Cantik dll), tapi kini telah dikenal Teori Logika, Himp dan Program Linier Kabur yang tidak dikhotomis lagi (setengah benar, agak cantik dll).

(b) Bidang Geometri, telah dikenal geometri Modern, Non Euqlides, Netral, Fraktal (tidak hanya 3 tapi 4 dimensi).

Para matematikawan selalu berusaha agar matematika dapat menelaah semua permasalahan dalam kehidupan.

Hakekat Matematika Sekolah

1. Pengertian Matematika sekolah:

bagian dari matematika yang diajarkan di semua jenjang sekolah (SD/ MI, SMP/ MTs. dan SMA/ MA atau SMK/ MAK)

bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan/ beroriantasi pada kepentingan pendidikan (disesuaikan dengan perkembangan intelektual siswa) dan perkembangan iptek.

Dari pengertian itu menunjukkan bahwa terdapat beberapa perbedaan antara matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah dalam 4 hal yaitu dalam hal: (a) teknik penyajian, (b) pola pikir yang digunakan, (c) keterbatasan semesta dan (d) tingkat keabstrakannya.

Beberapa perbedaan tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel Beberapa perbedaan matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah

Perbedaan dlm	Mat. Sbg Ilmu	Mat. Sekolah
Penyajian biasanya	Dimulai dari definisi/kadang aksioma – teorema – contoh – contoh	Dimulai dengan contoh-contoh yang terkait dengan realitas di sekitar siswa/ pemakaiannya, baru mengarah ke definisi, aksioma/sifat secara informal & secara berangsur-angsur menuju formal
Pola pikir yang digunakan	Murni deduktif - aksiomatik	Induktif – tapi harus mengarah ke deduktif
Semestanya	Tidak dibatasi	Dibatasi sesuai dengan tarap perkembangan berpikir siswa
Keabstra-kan materinya	Tetap abstrak	Diupayakan mulai dari konkrit – semi konkrit – semi abstrak - abstrak

2. Fungsi dan Tujuan Pembelajaran
    Matematika sekolah

   

    Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta  didik memiliki kemampuan sebagai berikut:

1) Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah

2) Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan  matematika

    3)  Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh

4) Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah

5) Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

3. Ruang Lingkup
Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan SMP/MTs meliputi aspek-aspek: Bilangan, Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika dan Peluang

Bila dicermati, tampak adanya nilai-nilai tertentu dalam tujuan pembelajaran matematika sekolah, yaitu tujuan yang bersifat: a) formal dan b) material.

a) tujuan yang bersifat formal, lebih menekankan pada penataan nalar dan pembentukan kepribadian.

b) tujuan yang bersifat material, lebih menekankan pada kemampuan menerapkan dan pada keterampilan matematika.

Selama ini karena tuntutan UN dll, pembelajaran matematika lebih menekankan pada tujuan material, sedang tujuan formal dianggap akan dicapai dengan sendirinya (sebagai dampak pengiring) (by chance).

Seiring dengan diperlukannya matematika di berbagai bidang kerja dan kehidupan, maka perlu dirancang pembelajaran matematika yang juga menekankan tujuan formal tersebut (by de sign).